Master mention Mathématiques 

Spécialité :

Modélisation Mathématique et Applications

1ère année et 2ème année

Première année

Master mention Mathématiques

  première année de Master de Mathématiques à Saint Etienne.

Master 1 de Mathématiques à Saint-Etienne

Responsable: Driss Essouabri

• Le M2 de Modélisation Mathématique et Applications de Saint-Etienne.
• Le M2 de Mathématiques fondamentales, cohabilité avec l'Université de Lyon 1, qui se fait à l'Université de Lyon 1.

Détails UE Master 1 Mathématiques

• Anneaux euclidiens, principaux, factoriels (rappels et compléments).
• Anneaux noethériens.
• Modules ; modules noethériens.
• Dimension. Entiers.
• Modules sur les anneaux principaux.

• Espaces de Banach ; théorèmes généraux.
• Dualité ; topologies faibles, réflexivité.
• Espaces L^P

• Courbes et surfaces de R³. Géométrie riemanienne des surfaces de R³.
• Variétés différentielles ; exemples. Fibré tangent ; champs de vecteurs ; formes différentielles.

• Statistiques : tests statistiques ; vecteurs gaussiens ; modèles linéaires.
• Probabilités : espérance conditionnelle ; chaînes de Markov ; martingales.

• Extension algébrique.
• Groupe de Galois.
• Corps finis.

• Initiation aux logiciels de calculs scientifiques et de calculs formels.

• Opérateurs compacts sur un espace de Banach.
• Le cas des opérateurs compacts auto adjoints sur un espace de Hilbert.
• Applications à l'équation de Fredholm et au problème de Sturm-Liouville.

• Sous-groupes fermés de GL_n.
• Algèbre de Lie d'un groupe de Lie.
• Exemples classiques.

• Problèmes aux limites.
• Formulation variationnelle : existence, unicité, régularité.
• Méthodes de résolution.

• Discrétisation de problèmes aux limites.
• Méthodes des différences finies, volumes finis, éléments finis.
• Théorie et applications.

• Groupes libres.
• Groupes opérant sur un ensemble.
• Représentations des groupes finis.

• Distributions.
• Analyse de Fourier dans S'(R").
• Espaces de Sobolev.
• Applications aux équations aux dérivées partielles.

Deuxième année

Master mention Mathématiques

  deuxième année de Master de Mathématiques à Saint Etienne.

- Le GATE de l'Université de Lyon-Saint-Etienne - UMR 5824  CNRS. 

-Le Centre de Recherche "Génie Industriel et Informatique" (G2I) de l'Ecole Nationale des Mines de Saint-Etienne.

Et avec la collaboration de l'Ecole Nationale d'Ingénieurs de Saint-Etienne (ENISE).

La seconde année est proposée à des étudiants de niveau Bac + 4 en Mathématiques et Applications issus d'une Université (française ou étrangère) ou d'une Ecole d'Ingénieurs (française ou étrangère) après avoir réussi la procédure de sélection sur dossier.

Motivations

L'objectif principal est, face à l'utilisation et à l'introduction toujours croissante de modélisation mathématique dans tous les secteurs des sciences, de l'industrie et de la finance, d'offrir une formation solide aux techniques de construction de modèles, de leur étude mathématique et de leur résolution numérique, dans différents domaines des sciences de l'ingénieur et des sciences économiques et financières. A l'issue de l'année, les étudiants maîtriseront les méthodes de résolution numériques, analytiques et asymptotiques, la résolution de problèmes à frontières libres et de problèmes inverses, méthodes de modélisation des matériaux composites.

L'originalité de cette formation est le couplage entre des approches déterministes et statistiques. Ce couplage est fondamental dès qu'il s'agit d'étudier les incertitudes qui entachent les résultats de modèles déterministes, où d’utiliser des méthodes d’optimisation globales. Les probabilités et statistiques sont également primordiales pour la modélisation de problématiques dans des domaines comme la finance (risque) ou le bio-médical (bio-statistiques).

Débouchés

Les élèves pourront entamer une thèse, soit au sein de laboratoires de recherche sur des sujets fondamentaux, soit, en collaboration avec des entreprises, sur des sujets appliqués. Ils pourront également rejoindre directement l'industrie avec une compétence appréciée dans une large gamme de domaines d'application.

Compétences acquises

A l'issue de l'année, les étudiants auront acquis des connaissances approfondies et des compétences solides en matière de :

- Construction, analyse mathématique et résolution de modèles dans les différents domaines des sciences de l'ingénieur, des sciences naturelles et des sciences économiques et financières
- Approches asymptotiques et stochastiques
- Méthodes de résolution numériques, analytiques et asymptotiques

- Méthodes stochastiques pour l’optimisation globale
- Résolution de problèmes à frontières libres et de problèmes inverses
- Calcul d'incertitudes
- Processus aléatoires spatiaux d'interpolation : krigeage

Contacts

Unités d'enseignement

A partir de l'année 2011-2012, les 2 parcours seront ouverts :

-         parcours Finances,

-         parcours Analyse Numérique et Métamodélisation

Le tronc commun de ces 2 parcours est présenté par les modules suivants :

Les cours spécialisés de chaque parcours sont les suivants :

-         parcours Finances

- parcours Analyse numérique et métamodélisation

Description des unités d'enseignement

Cours de tronc commun

INEQUATIONS VARIATIONNELLES ET OPERATEURS MAXIMUM  MONOTONES

Objectifs :

Revoir et approfondir quelques notions de l'analyse fonctionnelle utiles pour ce cours, dans le cadre des espaces de Banach, de Hilbert, et de Sobolev.

Contenu :

- Les inéquations variationnelles,
- Les inclusions différentielles associées aux opérateurs maximaux monotones,
- Modélisation de quelques problèmes modèles et étude des résultats d'existence d'unicité et de régularité de leurs solutions.
- Exemples de problèmes :

De Signorini d'Obstacle, de Cavitation

de Hele-Shaw, de Stefan.

Méthodes et moyens pédagogiques :

Cours magistral

Supports :

Baiocchi C., Capelo A., Variational and Quasivariational Inequalities J. Wiley (1984).

J.F. Rodrigues, Obstacle problems in mathematical physics, North-Holand num. 134 (1987).

H. Brezis, Opérateurs maximaux monotones et semi-groupe de contraction dans les espaces de Hilbert North Holland (1973).
H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Théorie et applications Masson 1983.
Cranck J. Free and moving boundary problems Oxford univ. Press (1984).

OPTIMISATION

Objectifs : Fournir les méthodes de base de l'optimisation non linéaire en identifiant les différentes classes de problèmes rencontrés usuellement, donner une pratique suffisante de l' application de ces méthodes en insistant sur les aspects modélisation et choix de l'algorithme d'optimisation.
L'accroissement de la puissance informatique permet de plus en plus souvent de chercher la solution globale d'un problème d'optimisation, quand il fallait autrefois se contenter de solutions locales. Nous présenterons également les concepts fondamentaux de l'optimisation globale, et les illustrerons à travers des applications en sciences de l'ingénieur...

Contenu

Optimisation classique

- Généralités sur l'optimisation, modélisation et classification des problèmes standard d'optimisation continue
- Optimisation non contrainte : méthodes d'ordre 0 ou exploratoires (algorithme du simplexe de Nelder et Mead,...), méthodes d'ordre 1 (algorithme du gradient à pas optimal, ...), méthodes d'ordre 2 (méthodes de gradient conjugué...)
- Optimisation quadratique ; cas des moindres carrés linéaires
- Optimisation au sens des moindres carrés non linéaires (méthodes de Gauss-Newton et de Levenberg- Marquardt)
- Optimisation contrainte : généralités (multiplicateurs de Lagrange, conditions de Kuhn et Tucker, dualité)
- Méthodes d'optimisation contrainte : pénalisation, gradient projeté.

Optimisation globale

- Algorithmes évolutionnaires (dont génétiques)
- Recuit simulé
- Méthodes de regroupement
- Couplage entre méthodes locales et méthodes globales
- Optimisation multi-critères
La conception de structures en matériaux composites sera un exemple privilégié du cours.

Méthodes et moyens pédagogiques Logiciels : Matlab, Excel...
Pré-requis souhaité : Eléments de méthodes numériques, programmation structurée.

Supports : Polycopiés

Contrôle : Examen, compte-rendus de TDs, Mini-projet.

Cours spécifiques aux parcours

PROCESSUS ALÉATOIRES :

MARTINGALES, MOUVEMENT BROWNIEN, CALCUL STOCHASTIQUE

Donner les outils de la base de la théorie des processus aléatoires à temps continu et à trajectoires continues. On présentera en particulier le calcul stochastique ou calcul d'Itô, qui joue le même rôle pour les processus aléatoires que le calcul infinitésimal pour les fonctions déterministes (mécanique classique, ...).

Les applications principales visées sont l'évaluation et la couverture des produits dérivés en http://webperso.univ-st-etienne.fr/%7Etailrach/actualites.htmlfinance de marché (cf. UP « Processus aléatoires et produits dérivés »), la résolution d'EDP par méthode de Monte-Carlo (cf. UP « Processus aléatoires et EDP » et UP « Méthodes de Monte-Carlo »), la modélisation de processus complexes (processus de diffusion).

1. Processus à temps discret. Martingales.

2. Processus à temps continu. Mouvement brownien et martingales.

3. Intégrale stochastique.

4. Calcul stochastique. Formule d'Itô. Théorème de Girsanov.

Cours / TD + TP (simulation).

Examen écrit.

PROCESSUS ALÉATOIRES ET EDP

Utiliser le calcul stochastique développé dans l'UP « Processus aléatoires : martingales, mouvement brownien, calcul stochastique » pour faire le lien entre les processus de diffusion et les solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) usuelles. Plus précisément on établira des représentations probabilistes de solutions aux dérivées partielles, qui donneront une alternative intéressante (méthode de Monte Carlo) aux méthodes numériques classiques pour leur calcul.

1. Mouvement brownien et équation de la chaleur.

2. EDP et processus de diffusion.

3. Formule de Feynman-Kac.

4. Simulation des processus de diffusion. Schémas d'Euler et de Milshtein.

Cours / TD + TP (simulation).

Examen écrit (1/2) + Compte-rendu de TP (1/2).

PROCESSUS ALÉATOIRES ET PRODUITS DERIVES

Introduire à l'ingénierie financière de l'évaluation et la couverture de produits dérivés (options, futures) en mettant l'accent sur les aspects modélisation. Présenter l'approche par arbre binomial (Cox-Ross Rubinstein) puis l'approche en temps continu de Black et Scholes (formule de B&S, 1973). Développer l'approche moderne d'évaluation dans l'univers risque-neutre.

Les applications pratiques sont l'objet de l'UP « Trading de produits dérivés ».

1. Rappels sur les marchés de dérivés : futures et options.

2. Evaluation et couverture en temps discret par l'approche binomiale. Introduction à l'univers risque-neutre.

3. Approche en temps continu. Mouvement brownien géométrique. Formule de Black & Scholes. Univers risque neutre.

4. Généralisations. Application aux options exotiques, aux dérivés de taux.

Cours / TD + TP.

Examen écrit.

TRADING DE PRODUITS DERIVES

1.     Introduire des méthodes et stratégies pratiques pour les traders

2.     Comprendre les principales fonctions dans une salle de trading

3.     Identifier les acteurs de l’industrie financière et leurs besoins en produits dérivés

1.     Options classiques, trading de volatilité : comportement du book & risques

▪          Courts rappels (définitions, usages et théorie)

2.     Valorisation, Grecs & stratégies de couverture

▪          Etudes de cas ou “Will you manage to earn money for the bank?”

3.     Crédits dérivés : CDS, CDO, CLN, CLO …

▪          Quels sont ces objets bizarres et pourquoi une telle expansion?

4.     Fabrication des produits structurés

▪          Ou “How to extract as much as possible from customer relationship”

• Notes de cours et documents de présentation
• Bibliographie
• Exercices et Business cases

• QCM : 20%
• Questions de synthèse: 30%
• Etude de cas : 50%

GESTION DE PORTEFEUILLE

• acquérir les connaissances fondamentales pour mettre en œuvre une stratégie d’allocation efficace, répondant à des objectifs de gestion précis ;
• présentation de l'approche moyenne-variance, sa mise en œuvre, ses limites, les généralisations possibles ;
• évaluation de la performance d'un fonds et du gérant de fonds ;
• étude de quelques stratégies de gestion usuelles.

Cours n°1 : Introduction à la gestion de portefeuille

         Bref rappel sur l'organisation des marchés financiers et les différents produits de base. Présentation du cadre réglementaire dans lequel s’inscrit la gestion de portefeuille. Les organismes de gestions en France: Sicav et OPCVM. Le cas de la banque privée et des hedge-funds.

Cours n°2 : Gestion de portefeuille selon Markovitz : théorie et mise en œuvre

Optimisation de portefeuille dans le cadre moyenne-variance. Propriétés de la frontière efficiente. Etude de l'impact de l'autorisation ou non de ventes à découvert. Difficultés de mise en œuvre de la méthode: problèmes d'estimation des corrélations entre actifs financiers et des rendements espérés. Limitations de la méthode et généralisation à l'aide des approches multi-moments.

Cours n°3 : Allocation d'actifs sous contrainte de "down-side risk"

Mesures cohérentes de risques. Mesures de risque extrêmes. Rappel sur le contexte réglementaire (Bâle I et II). Obtention de portefeuilles efficaces sous contrainte de Value-at-Risk ou d'Expected-Shortfall. Implication de la gestion d'actifs sous contrainte de "down-side risk" quant à la stabilité des marchés financiers.

Cours n°4 : Mesure de la performance

         Normes GIPS. Exemple d'indicateur de performance: Ratio de Sharpe, Alpha de Jensen. La méthode Moningstar. Construction d'une mesure de performance à partir d'une mesure de risque. Choix d'une mesure de performance. La question de l'horizon d'investissement. Les frais de gestion.

Cours n°5 : Quelques exemples de méthodes de gestion

         Etude de quelques exemples de stratégies de gestion parmi les suivantes : Portefeuille garanti, Méthode du coussin, Gestion indicielle, Erreur de suivi, Portefeuille à bêta zéro, Diversification internationale, Gestion des évènements extrêmes, Gestion multicritères, Portefeuille universel, Stratégies de gestion alternatives (Hedge funds)… (Liste non exhaustive)

Cours magistral + exercices d’application sous Excel / VBA / matlab

• QCM :
• Questions de synthèse:
• Etude de cas :

APPRENTISSAGE STATISTIQUE THEORIE ET APPLICATIONS

A partir d’un jeu de données :

-         savoir construire des modèles statistiques représentatifs du phénomène étudié,

-         savoir valider ces modèles,

-         connaître les risques liés à la modélisation (par exemple, le sur-apprentissage)

-         utiliser ces modèles afin de répondre à un objectif précis (optimisation, classification, etc.)

-         Mettre en pratique sur un cas concret les connaissances théoriques acquises

-         Suivre une méthodologie de projet
 

•         Présentations faites en cours,
•         Bibliographie,
•         Cas d’étude / TP sous R.

•         Examen écrit
•        Synthèse écrite des TP faits en cours 
•     Soutenance du cas d’étude industriel
          

METHODES ET SIMULATION NUMERIQUE

Objectifs : apprendre les méthodes numériques de résolution des problèmes d'analyse et des équations aux dérivées partielles ; apprendre la technique de la démonstration de convergence des méthodes numériques pour les problèmes modèles et "extrapoler" ces méthodes sur les problèmes réels complexes.

Contenu :

- Quadratures à plusieurs dimensions. Méthode de Monte-Carlo.
- Approximation des équations aux dérivées partielles par les schémas aux différences finies.
- Stabilité et convergence des schémas.
- Méthode d'élément fini : théorème de convergence et applications. 
- Méthode de volume fini
- Décomposition de domaine, méthode de domaine fictif.

Méthodes et moyens pédagogiques : cours 80%, TD 20 %.

Supports :

- T. Lascaux "Méthodes numériques pour l'ingénieur".
- N. Bakhvalov "Méthodes numériques", Edition Mir, Moscou, 1976.
- A. Samarskii "Schémas aux différences finies", Mir.
- A. Samarski, E. Nikolaiev "Méthodes de Résolution des Equations de Mailles", Moscou, Editions Mir, 1981.

APPROXIMATION SPECTRALE D'OPERATEURS LINEAIRES

Contenu :

4.     Contexte abstrait :

1. Espaces de Banach complexes.
2. Algèbre des opérateurs linéaires bornés.

5.     Eléments de théorie spectrale :

1. Résolvante, ensemble résolvant et spectre.
2. Projection spectrale et sous-espaces invariants maximaux.
3. Valeurs et vecteurs propres.

6.     Théorie d'approximation :

1. Convergence en norme.
2. Convergence collectivement compacte.
3. Nu-convergence.

7.     Application aux méthodes de discrétisation usuelles :

1. Opérateurs intégraux
1. Méthodes de quadrature.
2. Méthodes de soustraction de la singularité.
3. Méthodes de projection.

2. Opérateurs différentiels :
1. Méthodes des différences finies.
2. Méthodes des éléments finis.

8.     La dimension finie :

1. Rappels d'algèbre linéaire.
2. Méthodes numériques pour valeurs et vecteurs propres de matrices.

EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

Objectifs : apprendre les formulations des modèles mathématiques, les techniques de démonstration des théorèmes de l'existence et de l'unicité des solutions des équations de la physique mathématique ainsi que les méthodes de résolution analytiques et asymptotiques.

Contenu :

- Rappels de l'analyse fonctionnelle
- Existence et unicité de solutions des équations elliptiques
- Existence et unicité de solutions des équations paraboliques
- Méthodes analytiques de résolution : séparation des variables, méthode de potentiel.

Méthodes et moyens pédagogiques : cours 80 %, TD 20%

Supports :

J.L. Lions, E. Magenes
Problèmes aux limites non homogènes et applications. Dunod, Paris, 1968.

L. Evans
Partial Differential Equations. AMS, Providence, 1998

O.A. Ladyzhenskaya. Boundary Value Problems of Mathematical Physics, Springer Verlag, 1985.

MATHEMATIQUES DISCRETES ET THEORIE DES JEUX

Contenu : Le cours est divisé en deux parties. La première partie présente les concepts de base de la théorie des jeux non coopératifs (joueurs, stratégies, arbre du jeu, information factuelle et information structurelle), et présente deux concepts de solution : l'équilibre de Nash et l'équilibre de Nash parfait pour ses sous-jeux.

Un théorème d'existence de l'équilibre de Nash pour les jeux supermodulaires est présenté. Dans la seconde partie, des concepts issus de l'informatique théorique sont introduits (machine de calcul, classes P, NP, NPc. On montre que le calcul des solutions d'un jeu non coopératif peut s'avérer un problème difficile en terme calculatoire.

Un jeu est l'objet mathématique formalisant un conflit entre plusieurs agents (les joueurs) ; les membres d'une assemblée qui doivent élire l'un d'entre eux pour être le président ou bien les dirigeants de plusieurs firmes en concurrence sur un marché sont des exemples de joueurs. La théorie des jeux envisage deux classes de jeux distincts. Dans les jeux sous forme stratégique, le pouvoir de décision est complètement partagé entre les joueurs. D'une part, la règle du jeu spécifie entièrement les possibilités d'action des joueurs, d'autre part, la collectivité des joueurs n'est investie d'aucune souveraineté. Cette classe de jeux permet donc de modéliser les choix stratégiques et décentralisés des acteurs économiques et politiques (formation des prix, détermination des taxes, choix de localisation). Le problème est résumé dans la question suivante : comment faut-il jouer ? Au contraire, dans les jeux sous forme caractéristique, les joueurs sont contraints de coopérer pour que le jeu ait une issue raisonnable (coopération entre utilisateurs pour la connexion à un réseau de distribution, formation de coalitions majoritaires pour une procédure de vote, coopération entre compagnies aéronautiques pour le financement de pistes d'envol). On cherche à définir un juste partage des bénéfices ou des coûts de la coopération. La collectivité est donc souveraine pour arbitrer le conflit en dernier recours. Pour définir un juste partage, elle compare les possibilités qu'ont les joueurs de briser la coopération de tous.

Ce cours a plusieurs objectifs. Le premier est d'introduire les étudiants à la formalisation de situations économiques et sociales à l'aide de la théorie des jeux. Dans cette optique, les étudiants mobilisent leurs compétences mathématiques en optimisation (optimisation sur des structures ordonnées) et en topologie. Le deuxième objectif est de sensibiliser les étudiants à la question du calcul effectif des concepts de solution d'un jeu. Le modèle de Turing permet de définir des classes de problèmes en fonction du temps de calcul nécessaire pour les résoudre. Plusieurs concepts de solution d'un jeu (équilibre de Nash, valeur de Shapley, coeur) sont examinés sous cet angle de sorte à mettre en avant la complexité algorithmique qu'elles sont susceptibles de générer. Cette étape nécessite des connaissances en calcul propositionnel et en théorie des graphes.

Cette formation a un lien direct avec l'axe de recherche "Théorie des Jeux, Dynamique et Graphes" du Centre de Recherches en Economie de l'Université de Saint-Etienne (CREUSET, FRE-CNRS, 2938). Cette thématique, en pleine expansion en économie théorique, vise à comprendre l'impact des structures réticulaires sur les choix optimaux des agents et sur les mécanismes de juste répartition des coûts et bénéfices issus de la coopération. De ce fait, les étudiants de ce Master ont la possibilité d'effectuer des travaux de recherche en Economie Mathématique, et des débouchés naturels en recherche opérationnelle, management quantitatif des organisations, et choix social s'offrent à eux.

HOMOGENEISATION ET METHODES MULTI-ECHELLES 

(MODELISATION DE MATERIAUX ET STRUCTURES COMPOSITES)

Objectifs :
Apprendre les méthodes mathématiques de la modélisation des matériaux hétérogènes, des structures, des milieux poreux.

Contenu :

1. Matériaux et structures composites. Propriétés : fiabilité, rigidité, légèreté, thermorésistance.
2. Equation de chaleur et système de l'élasticité. Conditions aux limites (rappel).
3. Théorèmes d'existence et d'unicité de solutions. Estimations à priori (rappel).
4. Méthodes asymptotiques : notions sur les développements réguliers, couches limites. 
5. Homogénéisation

• Problèmes stationnaires.
• Problèmes non stationnaires.
• Problèmes non-linéaires.
• Algorithmes de calcul de thermo-conductivité efficace et de rigidité efficace de matériaux composites. 

• Dérivation asymptotique de modèles en dimension deux (plaques).
• Dérivation asymptotique de modèles en dimension un (barres).
• Décomposition asymptotique partielle de domaine.

Méthodes et moyens pédagogiques :

Cours 80 %, TD 20 %

Supports :

G. Fichera "Existence theorems in elasticity", Handbuch der Physik, VIa/2, Springer-Verlag, Berlin, 1972.

Ph. Ciarlet "Mathematical Elasticity. V1. Three dimensional elasticity", North Holland, Amsterdam/New York/Oxford/Tokyo, 1988.

N. Bakhvalov, G. Panasenko "Homogenization : Averaging processes in periodic media. Mathematical problems in mechanics of composite materials", Kluwer, Dordrecht/Boston/ London, 1989.

A. Bensoussan, J.L. Lions and G. Papanicolaou "Asymptotic Analysis for Periodic Structures". Amsterdam : North-Holland, 1978.

G. Panasenko "Multi-Scale Modeling for Structures and Composites". Springer, Dordrecht, 2005.

E. Sanchez-Palencia "Nonhomogeneous Media and Vibration Theory". New York : Springer-Verlag, 1980.