• Topologie de R (rudiments) et présentation axiomatique.
• Limites.
• Suites Rudiments.
• Continuité.
• Dérivabilité.
• Fonctions élémentaires.

• Notions ensemblistes, applications.
• N, récurrences ; quantificateurs.
• Corps des nombres complexes.
• Arithmétique de Z, division euclidienne., pgcd, ppcm.
• Fonctions polynômiales sur R et C ; décomposition en éléments simples, relations coefficients-racines.
• Systèmes 2 x 2, 3 x 3, méthode du pivot.

• Fonction de R dans R,
• Limites, continuité, dérivabilité,
• Théorème de Rolle,
• Théorème des accroissements finis, calcul des primitives.

• Eléments des statistiques descriptives : population, échantillon, caractère.
• Distribution expérimentale à une dimension.
• Distribution expérimentale à 2 dimensions.
• Espace de probabilité, probabilité conditionnelle et probabilité dans un ensemble de cardinalité finie (analyse combinatoire).
• Variables aléatoires : discrètes, continues.
• Etude de quelques lois de probabilités classiques dans le cas discret et dans le cas continu.
• Enoncé de quelques résultats d’approximation.

• Suites (hors récurrentes).
• Formules de Taylor ; Développements limités.
• Techniques de l’intégration : (on admet le théorème fondamental du calcul intégral dont la démonstration est l’objet central du cours Compléments d’analyse 1).
• Equations différentielles ordinaires du second ordre à coefficients constants avec second membre non nul.

• Groupes, anneaux, corps (vocabulaire seulement).
• Espaces vectoriels.
• Application linéaires.
• Etude des espaces vectoriels de dimension Finie.
• Matrices.

• Continuité uniforme.
• Intégration au sens de Riemann
• Suites récurrentes.

• Algèbre linéaire.
• Espaces vectoriels, matrices, déterminants, systèmes linéaires.
• Equations différentielles et Systèmes linéaires à coefficients constants.

• Applications de Rⁿ dans R^p.
• Eléments de calcul différentiel.
• Intégrales multiples, curvilignes et de surfaces.
• Formules de Stokes et d'Ostrogradski.
• Exemples simples d'E.D.P., systèmes différentiels linéaires.

• Revoir les propriétés d’une fonction réelle à valeurs dans R. En particulier les notions de limites, de continuité et de dérivabilité. Applications : recherche d’extrema d’une fonctions.
• Primitives et intégrales. Différentes techniques d’intégration : intégration par parties, changement de variables.
• Notions d’espace vectoriel, de base, de dimension.
• Applications linéaires, matrice associée à une application linéaire, changement de base.
• Diagonalisation d’une matrice.

• Equivalents.
• Séries numériques.
• Intégrales généralisées.

• Déterminants.
• Réduction des endomorphismes.
• Dualité.
• Espaces vectoriels de dimension infinie ; compléments.

• Espaces normés, espaces de Hilbert.
• Séries numériques, de fonctions et séries de Fourier.
• Intégrale dépendant d’un paramètre.

• Divergence d’une fonction scalaire ou vectorielle,
• Gradient d’une fonction scalaire ou vectorielle,
• Rotationnel d’une fonction vectorielle,
• Vecteurs invariants et tenseurs,
• Tenseurs contravariants, covariants, ou mixtes,
• Opérations sur les tenseurs,
• Tenseur de Riemann-Christoffel

• Généralités, méthodes de moindres carrés
• Corrélation linéaire, loi binomiale de Poisson,
• Description statistique d’une proposition,
• Variables aléatoire, écart type, estimation, échantillonnage.

• Fonctions réelles à 2 variables.
• Equations différentielles ordinaires : différentes méthodes de résolution.
• Modèles unidimensionnels de dynamique de populations.
• Systèmes linéaires : résolution analytique et tracé des orbites
• Stabilité et systèmes non linéaires. Modèle Lotkra Volterra.
• Suites récurrentes.

• Géométrie affine.

IV - DYNAMIQUE

• Espaces vectoriels normés, rudiments.
• Séries de fonctions.
• Séries entières
• Intégrales dépendants d’un paramètre.

• Formes bilinéaires symétriques.
• Formes sesquilinéaires hermitiennes.
• Arcs paramétrés, rectification, courbure, torsion.

• Séries de Laurent, théorèmes de Cauchy et des résidus.
• Transformations de Laplace.
• Equations différentielles du second ordre à coefficients variables.

• Revue des outils de prob./stat.
• Statistiques de Fermi-Dirac, Bose-Einstevn.
• Théorèmes limites en prob.
• Plans d’expériences.
• Moindres carrés
• Anova.

• Espaces mesurables, mesures.
• Fonctions intégrables
• Produits de mesures.
• Transformée de Fourier

• Rappels de topologie.
• Différentielle d'une application.
• Théorèmes des fonctions implicites et d'inversion locale.
• Différentielles d'ordre supérieur.

• Espaces topologiques.
Exemples : espaces métriques, normés, produits, sous-espaces topologiques.

• Intérieur, adhérence, suites.
• Compacité.
• Connexité.
• Compléments sur les espaces métriques

2) Géométrie affine euclidienne

• Rappels de géométrie affine
• Espaces affines euclidiens : généralités
• Isométrie des espaces affines euclidiens
• Déplacements en dimension 2 et 3
• Groupe des isométries laissant globalement invariante une partie donnée

3) Similitudes

• Similitudes vectorielles
• Similitudes affines
• Similitudes planes
• Compléments sur les angles ; cocyclicité

• Fonctions holomorphes.
• Exemples de fonctions holomorphes.
• Intégration sur les chemins.
• Théorie de Cauchy globale, domaine simplement connexe.
• Développement de Laurent.
• Suites et séries de fonctions méromorphes, produits infinis.

• Introduction aux équations différentielles.
• Existence et unicité pour le problème de Cauchy.
• Equations différentielles linéaires.

• 1 année. La première année est ouverte aux étudiants ayant obtenu une Licence de Mathématiques. Elle est commune aux deux spécialités :
  • Mathématiques fondamentales ;
  • Modélisation mathématique et Applications .
  Après la réussite de cette année, les étudiants pourront choisir la seconde année de la spécialité Mathématiques fondamentales qui est cohabilitée avec l'université de Lyon et dont les enseignements se dérouleront à Lyon, ou celle de la spécialité Modélisation mathématique et Applications qui est explicitée ci-après.
  
  
  SEMESTRE 1
  
  Algèbre commutative
  6 ECTS/24 h CM + 48 h TD
  
  
  • Anneaux euclidiens, principaux, factoriels (rappels et compléments).
  • Anneaux noethériens.
  • Modules ; modules noethériens.
  • Dimension. Entiers.
  • Modules sur les anneaux principaux.
  
  
  Analyse fonctionnelle
  5 ECTS/16 h CM + 32 h TD
  
  
  • Espaces de Banach ; théorèmes généraux.
  • Dualité, topologies faibles, réflexivité.
  • Espaces L^p


Géométrie différentielle
6 ECTS/24 h CM + 48 h TD

1. Courbes et surfaces de R³.
Géométrie riemanienne des surfaces de R³.
2. Variétés différentielles ; exemples.
Fibré tangent ; champs de vecteurs ; formes différentielles.


Probabilités et statistiques
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


1. Statistiques
• Tests statistiques.
• Vecteurs gaussiens.
• Modèles linéaires.
1. Probabilités
• Espérance conditionnelle.
• Chaînes de Markov.
• Martingales.


Théorie de Galois
ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Extensions algébriques.
• Groupes de Galois
• Corps finis.




Stages Matlab et Maple


SEMESTRE 2

Groupes
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Groupes libres.
• Groupes opérant sur un ensemble
• Représentations des groupes finis.

Distributions et équations aux dérivées partielles
5 ECTS/16 CM + 32 h TD


• Distributions.
• Analyse de Fourier dans S’(Rⁿ).
• Espaces de Sobolev
• Applications aux équations aux dérivées partielles.


Introduction à la Modélisation mathématique
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Problèmes aux limites.
• Formulation variationnelle, existence, unicité, régularité.
• Méthodes de résolution.


Théorie spectrale élémentaire
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Opérateurs compacts sur un espace de Banach.
• Le cas des opérateurs compacts auto adjoints sur un espace de Hilbert.
• Applications à l’équation de Fredholm et au problème de Sturm-Liouville.


Groupes de Lie
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Sous-groupes fermés de GL_n.
• Algèbre de Lie d’un groupe de Lie.
• Exemples classiques


Calcul scientifique
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• Quadrature de Gauss.
• Méthodes numériques pour la résolution des Equations aux dérivées partielles.
• Optimisation.


Travail d’étude et de recherche
5 ECTS/16 h CM + 32 h TD


• 2 année. La seconde année est proposée à des étudiants de niveau Bac+4 en Mathématiques et Applications issus d'une Université (française ou étrangère) ou d'une Ecole d'Ingénieurs (française ou étrangère) après avoir réussi la procédure de sélection sur dossier. A l'issue de l'année, les étudiants auront acquis des connaissances approfondies et des compétences solides en matière de construction, analyse mathématique et résolution de modèles dans les différents domaines des sciences de l'ingénieur et des sciences économiques et financières ; notamment, ils maîtriseront les approches asymptotiques et stochastiques, les méthodes de résolution numérique, analytique, la résolution de problèmes à frontières libres et de problèmes inverses et le calcul d'incertitudes. Il leur sera proposé les unités d'enseignement suivantes :